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Mathematics/question

컴퓨터를 이용한 증명

쭈꾸미뒷다리 Keating 2006. 1. 19. 18:35
최근들어 고성능 컴퓨터를 이용하여,
난해한 여러가지 수학적 난제들을 풀어낸다고 한다..

자세히 기억은 나지 않지만,
유명한 4색 지도 문제도 컴퓨터를 이용하여 증명해낸 것으로 알고 있다..

그런데, 이렇게 컴퓨터를 이용하여 증명한 수학적 명제도
실제 수학계에서
완전한 정리로서 받아들여 질 수 있는 것일까?

그러기 위해선,
컴퓨터의 연산결과가 언제나 틀림이 없다는 것의 수학적증명이 선행되어야 할텐데,,

이를 수학적으로 증명하는 것이 가능할까??
댓글
  • 프로필사진 Favicon of http://www.killrain.net BlogIcon 명진 4색 지도 문제는 증명이라기보단 모든 경우의수를 모두 대입해서 풀었다네요. 2006.01.19 23:00
  • 프로필사진 Favicon of http://min9.net BlogIcon 밍구& 모든 경우의 수를 확인하였으므로 증명이라고 할 수 있지요 2006.01.19 23:29
  • 프로필사진 나그네 문제는 입력데이터의 개수가 많아질 수록 저렇게 모든 경우의 수를 확인하는게 불가능하다는데에 있죠. 물론 모든 경우의 수를 확인하면 증명이라고 말 할 수 있겠지만, 지금의 컴퓨터로는 입력 데이터가 큰 경우에 모든 경우의 수를 확인하는게 불가능하죠. :) 2006.01.20 07:18
  • 프로필사진 Favicon of http://min9.net BlogIcon 밍구& 맞습니다. 문제의 복잡도 덕분에 슈퍼컴퓨터 수십대를 이용하여도 풀 수 없는 문제들이 있습니다. 그러한 문제들을 컴퓨터를 이용해 풀기 위해 먼저 해결되어야 할 문제가 P대NP 문제라고 어디선가 잠깐 들었던거 같아요; 2006.01.20 10:40
  • 프로필사진 Favicon of http://killrain.net BlogIcon 명진 http://pomp.egloos.com/1058842
    제가 자주 구경가는 puzzlist 님의 블로그에 올라온 p vs np 에 관한 글입니다.
    (뭐 그렇다고 제가 그걸 안다는건 아닙니다;)
    2006.01.21 00:33
  • 프로필사진 Favicon of http://blog.ohmynews.com/goldenbug BlogIcon 초절정하수 4색지도 문제는 컴퓨터로 하기 훨씬 이전에 증명되어 있었습니다. 그것을 어떤 사람이 심심했는지 모든 경우의 수를 대입해서 재증명한 것이죠. ^^; 2006.02.23 10:16
  • 프로필사진 Favicon of http://min9.net BlogIcon 밍구^^& 그럼, 4색지도문제 말고^^; 따른 거 많잖아요. 그런거 다 수학적정리로 인정해주는지요?;; 2006.02.23 14:36
  • 프로필사진 Favicon of http://pomp.tistory.com BlogIcon puzzlist 컴퓨터를 이용한 4색 문제의 증명이 처음 발표되었던 1970년대 초라면 "컴퓨터를 이용한 증명"에 거부감이 많았던 것도 사실입니다만, 지금은 "컴퓨터를 이용한 증명"을 인정하지 않는 수학자는 거의 없습니다.
    물론 되도록 컴퓨터를 많이 쓰지 않고 간결한 논증을 선호하기는 합니다만, 컴퓨터를 사용하였다는 사실 하나만으로 증명을 인정하지 않는 경우는 현재는 전혀 없다고 생각하셔도 됩니다.
    그리고 바로 위에 초절정하수(작은인장 님이시군요...)님께서는 잠깐 착각을 하신 듯합니다. 4색 문제는 컴퓨터를 덜 쓴 증명은 있지만, 아직 컴퓨터를 전혀 쓰지 않은 증명은 없습니다.
    4색 문제에 대해서는 제 블로그에 썼던 글(http://pomp.tistory.com/entry/Four-Colorist)과 그 글에 달린 댓글을 읽어보시면 좋을 것 같습니다.
    2007.12.03 16:41
  • 프로필사진 Favicon of https://minq.tistory.com BlogIcon 쭈꾸미뒷다리 Keating 그럼 결국 컴퓨터는 항상 정확하다라는 것 자체를 수학적으로 증명할 순 없지만,
    그냥 수학자들끼리 인정하기로 약속을 했다라는 건가요?
    좀 찝찝한데요;;
    2007.12.03 17:26 신고
  • 프로필사진 Favicon of http://pomp.tistory.com BlogIcon puzzlist 물론 컴퓨터는 언제나 완벽하다고 그냥 믿고 넘기는 것은 아닙니다.
    이런 쪽으로도 아~주 긴 얘기를 할 수 있겠습니다만, 생략하고, 대충 말하자면, 수학자들이 컴퓨터를 써서 어떤 증명을 할 때, 그 결과를 얻는 것은 인간이 할 수 없어도 그 결과가 올바른지는 인간의 힘으로 할 수 있는 경우가 있습니다. 또 하나는 컴퓨터를 이용하여 수많은 대상을 남김없이 조사하여 원하는 결과를 얻는 것인데, 대부분의 경우 그 알고리듬은 컴퓨터의 성능이나 상태와는 별 상관없이 독립적인 것들입니다. 그러니 알고리듬만 문제가 없다면 그 결과를 믿는 데도 별 문제가 없습니다. 컴퓨터의 성능이나 알고리듬을 구현한 언어의 특성이 문제가 된다면 다른 컴퓨터에서 다른 언어로 돌려보면 됩니다. 그러니 이 경우 역시 크게 문제될 일이 없습니다. 실제로 4색 문제의 증명도 다른 컴퓨터에 돌려보고서야 심사를 통과했습니다.
    "컴퓨터는 항상 정확하다라는 것 자체를 수학적으로 증명한다"는 것은 사실 좀 모호한 말입니다. 컴퓨터의 원리가 정확하다는 것은, 정확히 말하면 어떤 수학 문제가 튜링머신으로 풀릴지 그럴지 않을지는 수학적으로 증명 가능한 것이지만, 컴퓨터의 성능이라거나 CPU에 문제가 있다거나, 주변의 전자파 때문에 문제가 생길 수 있다거나 하는 것은 수학적으로 증명할 것이 아니죠.
    컴퓨터를 이용한 증명을 좀 찜찜하게 여기시는 것도 충분히 이해는 됩니다. 사실 따지고 보면 수학자들 입장에서는 대가의 "수십 쪽에 걸치는 장대한 증명"부터 찜찜합니다. 내가 이해하지는 못하지만, 그 분야 전문가들이 옳다고 하니 믿을 수밖에 없는 경우가 허다하니까요. 그 분야를 파고 들어서 몇 년 동안 공부하면 그 대가의 증명이 옳다는 것을 알게 될지도 모르지만, 모든 분야를 그렇게 할 수는 없으니까요. 어떤 의미에서는 수학자들이 컴퓨터를 이용한 증명을 받아들이는 데는 이와 비슷한 관점이 있는 것이 아닐까 싶은 생각도 듭니다.
    2007.12.03 20:07
  • 프로필사진 Favicon of https://minq.tistory.com BlogIcon 쭈꾸미뒷다리 Keating 아~ 그렇군요!

    "수학자들이 컴퓨터를 써서 어떤 증명을 할 때, 그 결과를 얻는 것은 인간이 할 수 없어도 그 결과가 올바른지는 인간의 힘으로 할 수 있는 경우가 있습니다"

    라는 대목에서 알고리즘이 정확한지 여부는 판단할 수 있지만 그 알고리즘을 이용한 컴퓨터의 계산결과가 항상 올바른지는 수학적증명 대상이 아니라는 의미라고 이해됩니다.

    이는 곧 컴퓨터의 계산결과가 항상 옳다고 100%확신할 수 있는가!?(정말간단한문제일찌라도) 란 질문과도 같을 수 있겠네요.
    2008.01.06 09:21 신고
  • 프로필사진 Favicon of http://snowall.tistory.com BlogIcon snowall 댓글 보고 찾아왔습니다.
    어쨌거나 계산과학은 제 전공은 아니니까요...
    컴퓨터의 계산 결과가 올바르다는 것에 대한 증명은 물리학적으로 증명할 필요가 있는 것이겠죠. 가령, 어떤 반도체 메모리의 내부 저장 상태가 "숫자 123"을 가리키는 것이었고, 거기에 +1을 한다는 조작을 하면 항상 그 상태가 "숫자 124"가 된다는 등의 증명을 해야 하는 것입니다. 일단 이런 부분은 세부적으로 쪼개져서, 반도체 메모리는 숫자를 저장할 수 있다, 실험을 통해 숫자를 읽을 수 있다, 실험을 통해 숫자를 바꿀 수 있다, 등등에 대해 각각이 개별 실험으로 검증되고 물리학 이론으로도 자세히 설명되어야 합니다. 적어도 컴퓨터의 동작 가능 영역에서(온도나 습도나 공급 전압 등의 작동 범위)는 외부 전자기파의 영향이나 기타 다른 간섭이 있다 하더라도 결과가 바뀌지 않음을 이론과 실험 양쪽에서 모두 설명해야겠죠.
    이제, 메모리의 숫자를 조작하는 것이 수학에서 숫자를 조작하는 것과 같음을 증명하고나면, 컴퓨터에게 일을 "정확히" 시키기만 하면 그 계산 결과는 사람이 한 것과 같음이 보장될 수 있습니다.(최소한 물리학이 보장하는 한계에서는)
    가령 9곱하기9를 계산하라고 사람A, 사람B, 컴퓨터C에게 시켜봤는데 사람A는 대수학을 사용하고 사람B는 기하학을 사용하였으며 컴퓨터C는 내부의 이상한 알고리즘을 사용했겠지만 어쨌든 81이라는 답이 나온다는 것입니다. 이 말은 곧 컴퓨터에게 일을 시킬 때, 그 알고리즘이 정확하다는 것을 증명하고(수학적 문제), 컴퓨터가 그 알고리즘대로 작동한다는 것이 증명된다면(물리학적 문제) 컴퓨터가 내놓은 답을 믿지 못할 이유가 없다는 뜻이죠.
    2008.01.06 09:46
  • 프로필사진 Favicon of https://minq.tistory.com BlogIcon 쭈꾸미뒷다리 Keating snowall 님께서 말씀하신 것 처럼,
    이와같은 물리학적검증은 이미 이루어졌을 것입니다.
    역시나 수학적증명은 불가능한 것으로 여겨집니다. 아니 불가능하다기 보다 puzzlist 님께서 말씀하신데로 수학적증명대상이 아닌 것이지요.

    수학은 결코 실험을 통해 결과를 도출해내지 않습니다.그렇기 때문에 수학은 처음부터 끝까지 합리적이고 절대적일 수 있었습니다.

    하지만 이 문제의 경우 수학의 발전을 위해 물리학적검증을 수학자들이 받아들여야만(어쩔수없이) 했습니다. 하지만 이건 정말 어쩔 수 없는 것이 해법은 있는데(문제해결을위한알고리즘은수학적증명이가능하므로) 인간 자체의 물리적인 한계(영원히살수없다는)때문에 답을 내기 어려운 경우이므로 수학자들이 인정하지 않을 수 없었던 것이지요.

    오래전부터 물리학, 화학, 경제학등 많은 학문들이 수학을 이용하여 자신들의 영역을 발달시켜 왔습니다. 하지만 이제는 자존심강한 수학자들도 어쩔 수 없이 물리학의 도움을 받아 자기들의 영역을 넓혀가는 모습이 참 재미있네요^^
    2008.01.06 10:41 신고
  • 프로필사진 이재율 Our FLT proof is plain and perfect.
    Therefore, Andrew Wiles`s FLT proof is practically worthless.
    Sincerely yours. Jae Yul Lee and You Jin Lee.
    appendix PDF files


    http://blog.empas.com/leejaeyul5/,
    http://cafe.naver.com/leejaeyul.cafe,
    http://cafe.daum.net/leejaeyul5

    논문심사가 지연되고 있습니다. 2008.10.14. 심사 독촉에 대하여, 편집담당이 2008.10.28. 아래와 같이 연락주셨습니다.
    2008.06.16. C08-064 Fermat's Last Theorem proof 논문으로 접수시킨, 우리의 페르마정리 증명은 간명 완전무결합니다.
    수학 증명의 진정한 가치는 진위 판별이 분명함에 있는 바, 수학사에 기록된 Elliptic curve에 관련된 Andrew Wiles의 FLT proof 논문은 난해한 추측으로서, 그 가치가 현저히 떨어지는 것입니다.
    공익법인 KMS는 국제저널로서 공정한 조치를 하여야 할 것입니다.
    4색 문제. 페르마정리 증명. 논문 저자. 이재율. 이유진 드림.


    ------------------ 아 래 ------------------
    발신: "KMS_paper" <paper@kms.or.kr>
    수신: "재율 이" <leejaeyul5@yahoo.co.kr>
    제목: Re: 논문 심사 적극 조치
    날짜: Tue, 28 Oct 2008 17:44:47 +0900
    이재율 선생님
    안녕하십니까.
    귀하께서 대한수학회 논문집에 투고하신 논문은 현재 심사 중입니다.
    심사위원님께 심사기간을 2개월로 하여 요청하고 있지만, 심사위원의 개인사정에 따라서 통상 그 이상이 걸리는 실정입니다. 경우에 따라서는 심사기간이 2년 이상이 걸리는 경우가 있습니다.
    그러나, 심사위원님께 조속히 심사결과를 알려달라고 요청을 하겠습니다.
    대한수학회논문집 편집담당
    2008.11.09 17:57
  • 프로필사진 l 4CT& 페르마 정리 증명 심사오류 내부감사 직무유기 조사하라
    아펠과 하켄의 1976 년경 4색 구분 정리 증명은 1200시간 컴퓨터작업이 필요하고, 와일즈의 1997 년경 페르마 정리 증명은 200 쪽 방대한 분량으로서, 간단명료한 증명 문제가 여전히 남아 있으며, 우리의 간명하고 완벽한 4색 구분 정리 증명과 페르마 정리 증명을 부인하는 수학자는 국내외에 아무도 없다.
    심사의견 전체 오류임을 입증하는 다음 두 가지를 조사하라. 교육과학기술부 산하 공익법인인 대한수학회의 반례를 요구하는 방법도 있고, 수학 기초지식을 가진 제3자에게 감정 의뢰할 수도 있을 것이다.
    첫째, 다음 세 가지 공식들은 모든 피타고라스 수를 구할 수 있다.
    X=(2AB)^(1/2)+A, Y=(2AB)^(1/2)+B, Z=(2AB)^(1/2)+A+B
    상기 공식은 c^2=A=Z-Y, 2d^2=B=Z-X 일 때 X=2cd+c^2, Y=2cd+2d^2, Z=2cd+c^2+2d^2 같이 된다.
    위 공식은 c+d=r 일 때 X=r^2-d^2, Y=2rd, Z=r^2+d^2 같은 기존 공식이 된다.
    둘째, [2^{(n-1)/n}+……+2^(2/n)+2^(1/n)](자연수)^{(n-2)/n} 과 (자연수)/(무리수) 는 항상 무리수가 된다.
    2006.3.3. 투고논문에 대한 2006.6.12. 심사의견이 전체적인 오류임을 지적하며 공익법인 내부감사를 의뢰하였으나 부당업무에 대한 감사도 아니하고 회신조차 아니 함에도 주무관청이 이를 방치하고 있다.
    * * * 09.11.17. 감사원장 조치내용 * * *
    “귀하께서는 감사원에 민원 (접수번호 제2009-08868, 08881, 08955호)를 제출하셨습니다. 검토결과, 위 민원은 교육과학기술부에서 조사할 사항으로 판단되어 교육과학기술부로 하여금 이를 조사 처리하고 그 결과를 귀하께 회신하도록 하였음을 알려 드립니다.”
    * * * 06.6.12.이후 공익법인 부당업무 * * *
    첫째, 논문심사의견 전체오류이며 편집장이 잘못된 주장만 반복하고 07.1.5.이후 회신도 없다.
    둘째, 부당업무 고발에도 자체 내부 감사를 실행하지 아니 한 잘못을 하고 회신도 없다.
    셋째, 주무관청의 성의를 가지고 답변하라는 요청도 무시하는 잘못을 하고 회신도 없다.
    4색 구분 정리 증명과 페르마 정리 증명 요약
    4색 구분 정리 증명
    [1] 한 점에 접하는 모든 지역들은 3색으로 충분히 구분된다.
    [증명] 한 점에 접하는 지역들 중에서 한 지역을 선택할 때, 이 선택된 지역에 접하는 주변의 모든 지역들은 2색으로 충분히 구분되기 때문이다.
    [2] 한 지역에 접하는 모든 지역들은 3색으로 충분히 구분된다.
    [증명] 한 지역 내의 한 점과 주변 지역들의 경계선들이 한 지역의 경계선과 만나는 점들을 연결할 때, 이 지역들은 결국 한 점에 접하는 지역들과 마찬가지로서 3색으로 충분히 구분되기 때문이다.
    [3] 한 지역과 한 지역에 접하는 주변의 모든 지역들을 구분함에는 4색으로 충분하다. 여기에서, 한 지역은 모든 모양의 무수한 지역들을 포함할 수 있다.
    [증명] 한 지역에 접하는 주변의 모든 지역들은 3색으로 충분히 구분되기 때문이다.
    2 가지 방법의 페르마 정리 증명
    Xn+Yn=Zn
    A=Z-Y, B=Z-X
    X=G(AB)1/n+A, Y=G(AB)1/n+B, Z=G(AB)1/n+A+B, X+Y-Z=G(AB)1/n
    {G(AB)1/n+A}n+{G(AB)1/n+B}n={G(AB)1/n+A+B}n
    n=1 일 때, G=0 이고, n=2 일 때, G=21/2>0 임.
    X=(2AB)1/2+A, Y=(2AB)1/2+B, Z=(2AB)1/2+A+B
    c2=A=Z-Y, 2d2=B=Z-X 일 때,
    X=2cd+c2, Y=2cd+2d2 and Z=2cd+c2+2d2
    c+d=e 일 때, X=e2-d2, Y=2ed, Z=e2+d2.
    페르마정리 증명 제1방법
    Xn+Yn=Zn
    (Xn/2)2+(Yn/2)2=(Zn/2)2
    a=Zn/2-Yn/2, b=Zn/2-Xn/2
    {G(ab)1/2+a}2+{G(ab)1/2+b}2={G(ab)1/2+a+b}2
    G=21/2>0
    Xn/2=(2ab)1/2+a, Yn/2=(2ab)1/2+b, Zn/2=(2ab)1/2+a+b
    Xn={(2ab)1/2+a}2, Yn={(2ab)1/2+b}2, Zn={(2ab)1/2+a+b}2
    홀수 n 에서 X, Y 와 Z 가 자연수일 때, 위식의 Xn, Yn 과 Zn 는 자연수이지만, 우변의 {(2ab)1/2+a}2, {(2ab)1/2+b}2, {(2ab)1/2+a+b}2 은 자연수가 될 수 없는 모순이 발생함으로 X, Y 와 Z 는 자연수가 될 수 없다. 그러나 짝수 n 에서는 위와 같은 모순이 발생하지 않는다. 한편, 짝수 n 에서는 모든 피타고라스 수가 거듭제곱이 될 수 없음으로 자연수 해를 가질 수가 없는 것이다.
    페르마정리 증명 제2방법
    {G(AB)1/n+A}n+{G(AB)1/n+B}n={G(AB)1/n+A+B}n
    위 식에서 A=B 일 때, G=[{2(n-2)/n+…+21/n+1}n{2A(n-2)}]1/n 을 구할 수가 있고,
    상기의 식들을 이용하여, 모든 자연수 A, B에서
    G(AB)1/n 이 절대로 자연수가 될 수 없음이 증명된다.
    [증명인: 이재율과 이유진]
    2010.01.30 04:33
  • 프로필사진 l 김도한, 김명환, 진교택, 위인숙, 이혜숙, 금종해, 박부성은 답변하라.
    중학교를 마친 현대 지혜인이 이해할 기초과학 내용이다.
    식 P(P+1)(P+P) 은 P 가 자연수일 때 거듭제곱이 못됨을 증명하긴 쉬우나 기약분수일 때는 증명이 어렵다. 증명방법을 숙고 바란다.
    페르마의 착각이 아니며, FLT 도전 수학자들이 식 X-A=Y-B=Z-A-B=X+Y-Z 를 발견하지 못한 것이고, 한 점에 접하는 모든 지역들이 항상 3색으로 충분하게 구분됨을 발견하지 못한 것이다.
    지식 쌓기 보다는 지혜를 얻도록 하여야 한다.
    우리의 올바른 주장은 계속 반복될 것이고, 반대자는 자취를 감출 것이다.
    계속하여 반복할수록 올바른 주장은 힘을 얻지만, 헛된 거짓 주장은 힘을 잃는 것이다.
    우리의 수학논리에 만약 잘못이 있다면 지적하고, 아니면 kms수학자들처럼 침묵하라.
    대한수학회나 이재율 검색으로 PDF 첨부파일 논문을 볼 수 있다.
    저작권문제로 대한수학회의 악연이 되었으나 국내외 수학자들이 알게 된 지금은 문제없다.
    대한수학회의 논문심사오류 범죄행위와 내부감사 직무유기를 조사할 것이다.
    2010.02.07 01:27
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