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Mathematics/theorem

여럿 중 생일이 같은 사람이 있을 확률

쭈꾸미뒷다리 Keating 2006. 9. 7. 07:10

새 학기가 되면 교실 게시판에 학생들의 생일을 적어놓는데, 신기하게도 생일이 같은 사람이 꽤 많다. 1년은 365일이나 되니 366명 정도는 모여야 한 쌍 정도가 생일이 같지 않을까 싶은데, 어째서 그럴까?
먼저 축구 경기를 가정해 보자. 축구장에는 선수가 22명, 주심 1명, 선심 2명 등 모두 25명이 같이 뛰게 된다. 한 경기마다 생일이 같은 사람이 섞여 있을 가능성은 얼마나 될까? 무턱대고 확률을 계산하면 머리가 아파진다. 2명의 생일이 같아도 되고 3명, 4명의 생일이 같아도 되며, 심지어 생일이 같은 사람이 여러 쌍 있어도 되므로 경우의 수가 너무 많아진다. 이럴 땐 반대로 생일이 모두 다를 경우를 생각하면 훨씬 쉽다. 먼저 2명이 있을 때, 첫 번째 사람의 생일이 5월 5일이라면, 다른 한명의 생일은 365일 중에서 이날을 제외한 364일 중 어느 날이어야 한다.

따라서, 2명의 생일이 다를 확률은 364/365이다. 3명의 생일이 모두 다를 확률은 얼마나 될까? 세 번째 사람의 생일은 앞의 두 명의 생일과 달라야 한다.

따라서 1년 중 이틀을 제외한 363일 중 어느 한 날이 생일이어야 한다. 또 3명의 생일이 모두 달라야 하므로 364/365 x 363/365  이 된다. 이렇게 계속 계산하면 25명의 생일이 모두 다를 확률은 계산기를 이용해 다음과 같이 구할 수 있다.

364/365 x 363/365 x 362/365 x ... x 341/365 = 0.43...

따라서 25명의 선수 중 생일이 같은 선수가 한 쌍이라도 섞여 뛰게 될 확률은 약 0.57(=1-0.43)정도이다. 즉, 10번의 축구 경기가 있을 때 5.7경기, 약 6경기 정도는 생일이 같은 사람이 뛰고 있을 가능성이 있는 셈이다. 이 정도면 굉장히 흔한 일 아닐까? 여러분이 어떤 모임에서 같은 생일의 사람을 만날 확률은 얼마일까? 계산기를 두드리다 보면 혹 인연의 깊이도 수학으로 가늠해 볼 수 있을지 모른다.

한 반의 구성원이 30명인 경우 생일이 같은 사람이 있을 확률을 구해보자.

1 - (364/365 x 363/365 x ... x 336/365) = 0.7(70%)

10반 중 7반에는 생일이 같은 사람이 있을 가능성이 있는 것이다

출처: http://blog.naver.com/sahalalove?Redirect=Log&logNo=10008037807

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