#02 Monty Hall Problem

몬티 홀은 NBC TV의 쇼 ‹Let's make a deal›의 진행자입니다. 이 쇼에 등장하는 게임 중 하나인 이 문제는 겉보기에는 매우 단순해 보이지만 매우 많은 사람들이 헷갈려 하는 만만치 않은 문제입니다. 진행자의 이름을 따서 Monty Hall Problem이라고 부릅니다.

Q. 스테이지 위에는 세 개의 문이 있습니다. 그 중 한 문의 뒤에는 최고급 스포츠카가 있고, 나머지 두 문의 뒤에는 염소가 있습니다. 출연자가 세 문 중 하나를 선택합니다. 그러면 사회자 몬티는 나머지 두 문 중에서 염소가 있는 문 하나를 열어서 보여주고, 출연자에게 문을 바꿀 수 있는 기회를 줍니다. 출연자는 처음 선택을 밀고 나가는 것이 좋을까요, 아니면 문을 바꾸는 것이 좋을까요?

많은 사람들이 어차피 남은 두 문 중 하나는 스포츠카고 하나는 염소이므로 확률은 반반일 것이라고 생각합니다. 하지만 사실은 (확률적으로) 바꾸는 것이 유리합니다.
이를 설명하는 방법은 여러 가지가 있는데 경험상 한 가지 증명이 특별히 쉬운 것이 없고 사람마다 쉽게 이해하는 증명이 제각기 다른 관계로 몇 가지 설명을 올려봅니다.


설명 1
염소에 1번과 2번 번호를 붙입니다. 어느 문 뒤에 염소가 있는지는 중요하지 않습니다.

1. 출연자가 1번 염소를 선택한 경우 → 사회자는 2번 염소가 있는 문을 열어줍니다. → 문을 바꿀 경우 승리합니다.
2. 출연자가 2번 염소를 선택한 경우 → 사회자는 1번 염소가 있는 문을 열어줍니다. → 문을 바꿀 경우 승리합니다.
3. 출연자가 차를 선택한 경우 → 사회자는 두 염소가 있는 문 중 아무 문이나 하나를 열어줍니다. → 문을 바꿀 경우 패배합니다.

즉, 문을 바꾸는 편이 승리할 확률이 2/3로 유리합니다.


설명 2
사회자가 문을 열든 말든, 출연자가 처음에 선택한 문에 차가 있을 확률은 변하지 않고 1/3입니다. 그런데 모든 확률의 합은 1이 되어야 합니다. 그러므로 중간에 선택을 바꾸면 확률은 2/3가 됩니다.


설명 3(아직도 잘 마음에 와 닿지 않는 분들을 위하여..)
극 단적으로 100개의 문 뒤에 한 대의 차와 99마리의 양이 있는 경우를 생각해 봅시다. 출연자가 문 하나를 선택하고, 사회자가 나머지 99개의 문 중에서 염소가 있는 문 98개를 열었습니다. 과연 문을 바꾸는 것이 유리할까요, 가만히 있는 것이 유리할까요? 유리하다면 얼만큼의 확률로 유리할까요?
=> 99/100 의 확률로 유리한거죠ㅋ

* Ref. *
Beneath the pale moonlight
http://www.jgiesen.de/Quiz/Ziegenproblem/Win_A_Car/win_a_car.html