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# 3n+1 문제
임의의 자연수 n에 대해 다음과 같은 조작을 반복합니다. n이 짝수면 2로 나누고 n이 홀수면 3n+1을 구한다. 예를 들어, n=5로 시작하면, 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 이 됩니다. 어떤 자연수 n에 대해서도 이 조작을 유한번 시행하면 1이 될 것이라고 예상하는데 7000 0000 0000보다 작은 모든 짝수에 대해 성립한다는 것이 밝혀져 있긴 하지만 아직 아무도 증명하지 못했습니다. 유명한 헝가리 수학자 폴 에르되시(Paul Erd\"os)는 우리의 수학은 아직 이 문제를 풀 준비가 되어 있지 않다고 했습니다.
# 쌍둥이 솟수
p와 p+2가 모두 솟수일 때 이 둘을 쌍둥이 솟수라고 합니다. 예를 들어 3, 5; 11,13; 17, 19; 29, 31 따위입니다. 쌍둥이 솟수가 무한히 많을 것이라고 예상하지만 역시 아무도 증명하지 못했습니다.
# 골드바흐의 예상
2보다 큰 모든 짝수는 두 개의 솟수의 합으로 나타낼 수 있다고 골드바흐가 주장했습니다.
200 0000 0000까지의 모든 짝수에 대해서는 옳다는 것이 컴퓨터로 조사되었습니다만 역시 아무도 증명이나 반증을 못했습니다. Goldbach 예상의 bound 가 4×1014로 올라갔음. 7 이상의 모든 홀수가 세 소수의 합이라는 Odd Goldbach 예상이 거의(?) 풀렸음. (10^43000 이상의 홀수는 세 소수의 합임이 증명되었음. Riemann 가정을 이용하면 훨씬 줄일 수 있음이 알려졌음)
# 메르센 수
p가 솟수일 때, Mp = 2p - 1 을 메르센 수라고 합니다. 메르센 수가 솟수일 때 특히 메르센느 솟수라고 하는데 메르센 솟수가 무한히 많이 존재할까요? 또 하나, 메르센 수는 제곱수로는 나누어 떨어지지 않을 걸로 예상하는데 이것 역시 아직 아무도 증명이나 반증을 하지 못했습니다.
# 페르마 수
페르마는 Fn = 22^n + 1이 언제나 솟수일 걸로 예상했지만 F5가 합성수임이 밝혀져 예상이 틀렸습니다. 그 이후, 많은 페르마 수가 합성수임이 밝혀졌지만 아직까지 솟수인지 합성수인지를 모르는 최소의 페르마 수는 F22 입니다. 한편 페르마 수가 솟수일 때 그 솟수를 페르마 솟수라고 하는데 이런 솟수가 무한히 많은지 그렇지 않은지도 아직 모릅니다. 지금은 거꾸로 n이 5보다 크거나 같은 경우 Fn은 언제나 합성수가 아닐까 예상하고 있습니다. Fermat 소수는 F11 = 22^11 + 1 까지 인수분해가 완료되었음. F22는 합성수로 판정이 났음. 피보나치 솟수
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...를 피보나치 수열이라고 합니다. (각 항은 앞 두 항을 더해서 구합니다.) 이 수열은 솟수를 무한히 많이 포함하고 있을까요? n2 + 1 꼴의 솟수
n2 + 1 꼴의 솟수가 무한히 많이 존재할까요? k 2n + 1 꼴의 합성수 모든 자연수 n에 대해 k 2n + 1 이 합성수가 되는 k가 존재하는 것은 알려져 있는데 이런 k의 최소값은 무엇일까요?
# 제곱 수 사이의 솟수
연속된 두 수의 제곱 사이에는 언제나 솟수가 존재할까요? 2 이상의 자연수 n에 대해, n과 2n 사이에 솟수가 존재한다는 것은 Bertrand Postulate로 알려진 유명한 문제로 이미 오래 전에 참으로 밝혀졌습니다. 그러나 이 문제처럼 제곱인 경우는 아무도 모릅니다.
# 큰 수의 인수분해
솟수가 아닌 것만 알 뿐 그 소인수 분해를 모르는 수가 많습니다. 페르마 수 Fn = 22^n + 1 의 경우 그 인수분해가 알려져 있는 것은 n이 8까지인 경우뿐입니다. n이 9보다 크거나 같은 경우 겨우 몇 개의 인수만 알려져 있습니다.
# 홀수 완전수
6의 약수 가운데 자기 자신을 제외한 나머지 1, 2, 3을 모두 더하면 다시 6이 됩니다. 이처럼 자신을 제외한 약수를 모두 더한 값이 다시 자기 자신일 때 그 수를 완전수라고 합니다. 짝수인 완전수의 일반적인 꼴은 이미 알고 있지만 홀수인 완전수는 아직 단 하나도 발견되지 않았습니다. 여러 연구 결과 아마도 그런 수가 존재하지 않거나 존재한다면 어마어마하게 큰 수 - 10300보다 커야 합니다 - 것까지는 알려져 있습니다.
# π + e
π와 e는 무리수일 뿐 아니라 심지어 초월수라는 것도 밝혀져 있습니다. (초월수란 정수 계수 다항 방정식의 근이 될 수 없는 수를 말합니다.) 그런데 π + e 는 초월수는 커녕 유리수인지 무리수인지도 모릅니다.
# 오일러 수
오일러 수로 불리는 것들이 여럿 있는데 여기서 말하는 것은 다음과 같이 정의합니다. γ = limn→∞ ( 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n - log n ) 이 γ가 수렴한다는 것은 쉽게 보일 수 있지만 이 수가 유리수인지 무리수인지도 아직 모릅니다. 아마도 무리수일 뿐 아니라 초월수까지 되지 않을까 생각하고 있습니다.
# 아페리의 수
ζ(3) = 1/13 + 1/23 + 1/33 + 1/43 + ... 으로 정의합니다. 아페리(Apery)가 이 수가 무리수임을 보였지만 아직 초월수인지 아닌지는 알지 못합니다. 아페리의 증명이 발표되었을 때 그 방법이 뜻밖에 간단해서 많은 수학자들이 나도 한번 해 볼걸하고 땅을 치고 통곡했다는 전설(?)이 있죠.
# 카탈랑의 예상
연속된 두 정수가 거듭제곱 수인 경우는 언제일까요? 2의 세제곱인 8과 3의 제곱인 9만이 유일하다고 예상하고 있습니다. 물론 거듭제곱 지수는 1보다 큰 경우만 생각합니다. 2002년 5월 체코 수학자 Preda Mihailescu가 드디어 증명에 성공하였습니다.
# 이집트 분수
분자는 1, 분모는 자연수인 분수를 이집트 분수라고 합니다. 1보다 큰 임의의 자연수 n에 대해 4/n 을 세 개의 이집트 분수로 나타낼 수 있을까요? 바꿔 말하면 n이 어떤 값이라도, 4/n = 1/x + 1/y + 1/z 를 만족하는 양의 정수해 x, y, z가 존재하겠느냐는 겁니다. ※ 혼동의 여지가 있어서 조금 고쳤습니다.
# 5차 부정 방정식
다음 방정식을 만족하는 서로 다른 자연수 a,b,c,d가 존재할까요? a5 + b5 = c5 + d5 일곱 개의 세제곱들의 합 454보다 큰 모든 정수는 일곱 개 이하의 양의 정수를 세제곱한 것들의 합으로 나타낼 수 있을까요?
# 유리수 거리
평면 위에 한 변의 길이가 1인 정사각형이 놓여 있습니다. 이 정사각형의 네 꼭지점에 이르는 거리가 모두 유리수인 점이 이 평면에 존재할까요?
# 유리수 상자
임의의 두 점 사이의 거리가 모두 정수인 직육면체가 존재할까요?
# 내접 정사각형
평면 위에 단순 폐곡선이 주어졌을 때 정사각형의 네 꼭지점이 되는 점들이 이 곡선 위에 존재할까요? 단순 폐곡선이란 자기 자신과 만나지 않는 폐곡선을 말합니다.
# 우아한 트리
유한 개의 점과 그 점들을 잇는 선들로 이루어진 도형을 그래프(graph)라고 합니다. 이 때 이 그래프의 점을 버텍스(vertex)라고 하고 버텍스들을 잇는 선을 에지(edge)라고 합니다. 그래프 가운데 한 버텍스에서 다른 버텍스로 에지를 따라 가는 방법이 유일할 때 이런 그래프를 특별히 트리(tree)라고 합니다. 전산이나 컴퓨터 프로그래밍을 공부한 분이라면 트리 구조라는 걸 아실 겁니다. n 개의 버텍스를 갖는 트리에 1부터 n까지 숫자를 준 다음 각 에지에는 양 끝의 두 버텍스에 주어진 숫자들의 차를 줍니다. 이렇게 했을 때 만약 에지의 숫자들이 모두 다르다면 이 트리는 우아하다(graceful)고 정의합니다. 예를 들어 9 개의 버텍스를 가진 트리에 다음 그림처럼 숫자를 줍니다.
5 1----4
/ /
7----3----9----2
│ │
6 8
이 트리의 에지는 1부터 8까지의 서로 다른 숫자를 갖습니다. 따라서 이 트리는 우아한 트리(graceful tree)입니다. 그런데 혹시 모든 트리는 다 우아하지 않을까요? 아직 아무도 증명이나 반증을 하지 못했습니다.
# 마법의 나이트 경로
8x8 체스판 위에서 나이트(knight)가 어떤 칸도 꼭 한 번만 방문하도록 움직이면서 방문하는 칸마다 1부터 64까지 차례대로 번호를 붙입니다. 이 때 그 결과가 마방진이 되게 할 수 있을까요? semi-magic knight tour라고 해서 가로 세로의 합이 모두 같게 되는 경로는 발견되었지만 대각선의 합까지 모두 같은 것은 아직 발견되지 않았습니다
# 미스테리 수학문제 - Best 6
1. 컴퓨터 계산 시간에 관한 P 대 NP 문제
2. 소수의 분포에 관한 리만의 가정
58년 소수분포에 관한 논문에서는 ζ함수를 응용하여 해석적 수론의 기초를 닦았다. ζ함수의 성질에 대한 리만의 가정 ζ(s)는 s＝x＋iy에 대해서 생각할 때 x＞1/2로 0점은 없다는 오늘날까지 증명도 부정도 되지 않은 상태이다.
3. 소용돌이를 기술하는 나비어 스톡스 방정식
4. 3차원 곡면에 관한 푸앵카레 추측
5. 양-밀즈 존재와 매스갭
6. 골드바흐의 추측
골드바흐의 추측 1 : 4 이상의 짝수는 두 소수의 합이다. 골드바흐의 추측 2: 6 이상의 모든 자연수는 세 소수의 합이다.
이것만은 꼭 알고싶다 Best 6
1. 모든 짝수는 소수와 소수의 거듭제곱의 차로 쓸수 있다.
2. 모든 짝수 2n에 대해서 차이가 2n이 되는 소수가 무수히 많다.
3. 쌍둥이 소수 추측 : 차이가 2가 되는 소수는 무수히 많다.
4. n^2 +1 꼴의 소수는 무수히 많다.
5. 페르마 소수(2^{2^n}+1꼴의 소수)는 유한하다.
6. n^2 과 (n+1)^2 사이에는 항상 소수가 있다
임의의 자연수 n에 대해 다음과 같은 조작을 반복합니다. n이 짝수면 2로 나누고 n이 홀수면 3n+1을 구한다. 예를 들어, n=5로 시작하면, 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 이 됩니다. 어떤 자연수 n에 대해서도 이 조작을 유한번 시행하면 1이 될 것이라고 예상하는데 7000 0000 0000보다 작은 모든 짝수에 대해 성립한다는 것이 밝혀져 있긴 하지만 아직 아무도 증명하지 못했습니다. 유명한 헝가리 수학자 폴 에르되시(Paul Erd\"os)는 우리의 수학은 아직 이 문제를 풀 준비가 되어 있지 않다고 했습니다.
# 쌍둥이 솟수
p와 p+2가 모두 솟수일 때 이 둘을 쌍둥이 솟수라고 합니다. 예를 들어 3, 5; 11,13; 17, 19; 29, 31 따위입니다. 쌍둥이 솟수가 무한히 많을 것이라고 예상하지만 역시 아무도 증명하지 못했습니다.
# 골드바흐의 예상
2보다 큰 모든 짝수는 두 개의 솟수의 합으로 나타낼 수 있다고 골드바흐가 주장했습니다.
200 0000 0000까지의 모든 짝수에 대해서는 옳다는 것이 컴퓨터로 조사되었습니다만 역시 아무도 증명이나 반증을 못했습니다. Goldbach 예상의 bound 가 4×1014로 올라갔음. 7 이상의 모든 홀수가 세 소수의 합이라는 Odd Goldbach 예상이 거의(?) 풀렸음. (10^43000 이상의 홀수는 세 소수의 합임이 증명되었음. Riemann 가정을 이용하면 훨씬 줄일 수 있음이 알려졌음)
# 메르센 수
p가 솟수일 때, Mp = 2p - 1 을 메르센 수라고 합니다. 메르센 수가 솟수일 때 특히 메르센느 솟수라고 하는데 메르센 솟수가 무한히 많이 존재할까요? 또 하나, 메르센 수는 제곱수로는 나누어 떨어지지 않을 걸로 예상하는데 이것 역시 아직 아무도 증명이나 반증을 하지 못했습니다.
# 페르마 수
페르마는 Fn = 22^n + 1이 언제나 솟수일 걸로 예상했지만 F5가 합성수임이 밝혀져 예상이 틀렸습니다. 그 이후, 많은 페르마 수가 합성수임이 밝혀졌지만 아직까지 솟수인지 합성수인지를 모르는 최소의 페르마 수는 F22 입니다. 한편 페르마 수가 솟수일 때 그 솟수를 페르마 솟수라고 하는데 이런 솟수가 무한히 많은지 그렇지 않은지도 아직 모릅니다. 지금은 거꾸로 n이 5보다 크거나 같은 경우 Fn은 언제나 합성수가 아닐까 예상하고 있습니다. Fermat 소수는 F11 = 22^11 + 1 까지 인수분해가 완료되었음. F22는 합성수로 판정이 났음. 피보나치 솟수
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...를 피보나치 수열이라고 합니다. (각 항은 앞 두 항을 더해서 구합니다.) 이 수열은 솟수를 무한히 많이 포함하고 있을까요? n2 + 1 꼴의 솟수
n2 + 1 꼴의 솟수가 무한히 많이 존재할까요? k 2n + 1 꼴의 합성수 모든 자연수 n에 대해 k 2n + 1 이 합성수가 되는 k가 존재하는 것은 알려져 있는데 이런 k의 최소값은 무엇일까요?
# 제곱 수 사이의 솟수
연속된 두 수의 제곱 사이에는 언제나 솟수가 존재할까요? 2 이상의 자연수 n에 대해, n과 2n 사이에 솟수가 존재한다는 것은 Bertrand Postulate로 알려진 유명한 문제로 이미 오래 전에 참으로 밝혀졌습니다. 그러나 이 문제처럼 제곱인 경우는 아무도 모릅니다.
# 큰 수의 인수분해
솟수가 아닌 것만 알 뿐 그 소인수 분해를 모르는 수가 많습니다. 페르마 수 Fn = 22^n + 1 의 경우 그 인수분해가 알려져 있는 것은 n이 8까지인 경우뿐입니다. n이 9보다 크거나 같은 경우 겨우 몇 개의 인수만 알려져 있습니다.
# 홀수 완전수
6의 약수 가운데 자기 자신을 제외한 나머지 1, 2, 3을 모두 더하면 다시 6이 됩니다. 이처럼 자신을 제외한 약수를 모두 더한 값이 다시 자기 자신일 때 그 수를 완전수라고 합니다. 짝수인 완전수의 일반적인 꼴은 이미 알고 있지만 홀수인 완전수는 아직 단 하나도 발견되지 않았습니다. 여러 연구 결과 아마도 그런 수가 존재하지 않거나 존재한다면 어마어마하게 큰 수 - 10300보다 커야 합니다 - 것까지는 알려져 있습니다.
# π + e
π와 e는 무리수일 뿐 아니라 심지어 초월수라는 것도 밝혀져 있습니다. (초월수란 정수 계수 다항 방정식의 근이 될 수 없는 수를 말합니다.) 그런데 π + e 는 초월수는 커녕 유리수인지 무리수인지도 모릅니다.
# 오일러 수
오일러 수로 불리는 것들이 여럿 있는데 여기서 말하는 것은 다음과 같이 정의합니다. γ = limn→∞ ( 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n - log n ) 이 γ가 수렴한다는 것은 쉽게 보일 수 있지만 이 수가 유리수인지 무리수인지도 아직 모릅니다. 아마도 무리수일 뿐 아니라 초월수까지 되지 않을까 생각하고 있습니다.
# 아페리의 수
ζ(3) = 1/13 + 1/23 + 1/33 + 1/43 + ... 으로 정의합니다. 아페리(Apery)가 이 수가 무리수임을 보였지만 아직 초월수인지 아닌지는 알지 못합니다. 아페리의 증명이 발표되었을 때 그 방법이 뜻밖에 간단해서 많은 수학자들이 나도 한번 해 볼걸하고 땅을 치고 통곡했다는 전설(?)이 있죠.
# 카탈랑의 예상
연속된 두 정수가 거듭제곱 수인 경우는 언제일까요? 2의 세제곱인 8과 3의 제곱인 9만이 유일하다고 예상하고 있습니다. 물론 거듭제곱 지수는 1보다 큰 경우만 생각합니다. 2002년 5월 체코 수학자 Preda Mihailescu가 드디어 증명에 성공하였습니다.
# 이집트 분수
분자는 1, 분모는 자연수인 분수를 이집트 분수라고 합니다. 1보다 큰 임의의 자연수 n에 대해 4/n 을 세 개의 이집트 분수로 나타낼 수 있을까요? 바꿔 말하면 n이 어떤 값이라도, 4/n = 1/x + 1/y + 1/z 를 만족하는 양의 정수해 x, y, z가 존재하겠느냐는 겁니다. ※ 혼동의 여지가 있어서 조금 고쳤습니다.
# 5차 부정 방정식
다음 방정식을 만족하는 서로 다른 자연수 a,b,c,d가 존재할까요? a5 + b5 = c5 + d5 일곱 개의 세제곱들의 합 454보다 큰 모든 정수는 일곱 개 이하의 양의 정수를 세제곱한 것들의 합으로 나타낼 수 있을까요?
# 유리수 거리
평면 위에 한 변의 길이가 1인 정사각형이 놓여 있습니다. 이 정사각형의 네 꼭지점에 이르는 거리가 모두 유리수인 점이 이 평면에 존재할까요?
# 유리수 상자
임의의 두 점 사이의 거리가 모두 정수인 직육면체가 존재할까요?
# 내접 정사각형
평면 위에 단순 폐곡선이 주어졌을 때 정사각형의 네 꼭지점이 되는 점들이 이 곡선 위에 존재할까요? 단순 폐곡선이란 자기 자신과 만나지 않는 폐곡선을 말합니다.
# 우아한 트리
유한 개의 점과 그 점들을 잇는 선들로 이루어진 도형을 그래프(graph)라고 합니다. 이 때 이 그래프의 점을 버텍스(vertex)라고 하고 버텍스들을 잇는 선을 에지(edge)라고 합니다. 그래프 가운데 한 버텍스에서 다른 버텍스로 에지를 따라 가는 방법이 유일할 때 이런 그래프를 특별히 트리(tree)라고 합니다. 전산이나 컴퓨터 프로그래밍을 공부한 분이라면 트리 구조라는 걸 아실 겁니다. n 개의 버텍스를 갖는 트리에 1부터 n까지 숫자를 준 다음 각 에지에는 양 끝의 두 버텍스에 주어진 숫자들의 차를 줍니다. 이렇게 했을 때 만약 에지의 숫자들이 모두 다르다면 이 트리는 우아하다(graceful)고 정의합니다. 예를 들어 9 개의 버텍스를 가진 트리에 다음 그림처럼 숫자를 줍니다.
5 1----4
/ /
7----3----9----2
│ │
6 8
이 트리의 에지는 1부터 8까지의 서로 다른 숫자를 갖습니다. 따라서 이 트리는 우아한 트리(graceful tree)입니다. 그런데 혹시 모든 트리는 다 우아하지 않을까요? 아직 아무도 증명이나 반증을 하지 못했습니다.
# 마법의 나이트 경로
8x8 체스판 위에서 나이트(knight)가 어떤 칸도 꼭 한 번만 방문하도록 움직이면서 방문하는 칸마다 1부터 64까지 차례대로 번호를 붙입니다. 이 때 그 결과가 마방진이 되게 할 수 있을까요? semi-magic knight tour라고 해서 가로 세로의 합이 모두 같게 되는 경로는 발견되었지만 대각선의 합까지 모두 같은 것은 아직 발견되지 않았습니다
# 미스테리 수학문제 - Best 6
1. 컴퓨터 계산 시간에 관한 P 대 NP 문제
2. 소수의 분포에 관한 리만의 가정
58년 소수분포에 관한 논문에서는 ζ함수를 응용하여 해석적 수론의 기초를 닦았다. ζ함수의 성질에 대한 리만의 가정 ζ(s)는 s＝x＋iy에 대해서 생각할 때 x＞1/2로 0점은 없다는 오늘날까지 증명도 부정도 되지 않은 상태이다.
3. 소용돌이를 기술하는 나비어 스톡스 방정식
4. 3차원 곡면에 관한 푸앵카레 추측
5. 양-밀즈 존재와 매스갭
6. 골드바흐의 추측
골드바흐의 추측 1 : 4 이상의 짝수는 두 소수의 합이다. 골드바흐의 추측 2: 6 이상의 모든 자연수는 세 소수의 합이다.
이것만은 꼭 알고싶다 Best 6
1. 모든 짝수는 소수와 소수의 거듭제곱의 차로 쓸수 있다.
2. 모든 짝수 2n에 대해서 차이가 2n이 되는 소수가 무수히 많다.
3. 쌍둥이 소수 추측 : 차이가 2가 되는 소수는 무수히 많다.
4. n^2 +1 꼴의 소수는 무수히 많다.
5. 페르마 소수(2^{2^n}+1꼴의 소수)는 유한하다.
6. n^2 과 (n+1)^2 사이에는 항상 소수가 있다
출처: 미소님의 네이버 블로그
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